Öklid geometrisi, İskenderiyeli Yunan matematikçi Öklid’e atfedilen matematiksel bir sistemdir ve onun Elemanlar adlı geometri üzerine ders kitabında tarif edilmektedir. Öklid'in yöntemi, sezgisel olarak çekici küçük bir aksiyom seti varsaymaktan ve bu aksiyomlara dayanarak birçok başka önermeyi (teoremleri) çıkarmaktan ibarettir. Öklid'in sonuçlarının çoğu daha önceki matematikçiler tarafından ifade edilmiş olsa da, Öklid, bu önermelerin kapsamlı bir tümdengelimli ve mantıksal sisteme nasıl uyabileceğini gösteren ilk kişi oldu. Elemanlar, ilk aksiyomatik sistem ve resmi ispatın ilk örnekleri olarak ortaokulda (lise) hala öğretilen düzlem geometrisi ile başlar. Üç boyutlu katı geometrisi (uzay geometrisi) ile devam ediyor. Elemanlar’ın çoğu, geometrik dilde açıklanan, şimdi cebir ve sayı teorisi olarak adlandırılan şeyin sonuçlarını belirtir.
İki bin yıldan fazla bir dönem için "Öklid" sıfatı gereksizdi çünkü başka hiçbir geometri tasarlanmamıştı. Öklid'in aksiyomları sezgisel olarak o kadar açık görünüyordu ((paralellik postülatının) olası istisnası dışında), onlardan ispatlanan herhangi bir teorem mutlak, çoğu zaman metafiziksel anlamda doğru kabul edildi. Ancak günümüzde, ilkleri 19. yüzyılın başlarında keşfedilen diğer birçok kendinden tutarlı Öklid dışı geometri bilinmektedir. Albert Einstein'ın genel görelilik teorisinin bir sonucu, fiziksel uzayın kendisinin Öklidsel olmadığı ve Öklid uzayının sadece kısa mesafelerde iyi bir yaklaşım olduğudur (yer çekimi alanının gücüne bağlı olarak).
Öklid geometrisi, noktalar ve çizgiler gibi geometrik nesnelerin temel özelliklerini tanımlayan aksiyomlar üzerinden mantıksal olarak ilerlediğinden, bu nesnelerle ilgili önermeler için tüm bu nesneleri belirlemek üzere koordinatlar kullanılmayan sentetik geometrinin bir örneğidir. Bu, geometrik önermeleri cebirsel formüllere çevirmek için koordinatları kullanan analitik geometrinin tersidir.
Elemanlar
Elemanlar, daha önceki geometri bilgilerinin sistematikleştirilmesidir. Daha önceki yaklaşımlara göre gelişmesi hızla fark edildi, bunun sonucu olarak daha öncekilerin korunmasıyla ilgili çok az ilgi gösterildi ve şimdiyse neredeyse hepsi kaybolmuş durumdadır.
Öklid'in Elemanlar'ında 13 kitap vardır:
- Kitaplar I–V ve VI düzlem geometrisini tartışır. Düzlem şekilleriyle ilgili birçok sonuç kanıtlanmıştır, örneğin "Herhangi bir üçgende, herhangi bir şekilde birlikte alınan iki açı, iki dik açıdan daha küçüktür." (Kitap 1, Önerme 17) ve Pisagor teoremi "Dik açılı üçgenlerde, dik açıyı oluşturan kenarın karesi, dik açıyı içeren kenarların karelerine eşittir." (Kitap I, Önerme 47)
- Kitap V ve VII–X, sayı teorisini, geometrik olarak doğru parçalarının uzunlukları veya bölgelerin alanları olarak işlem gören sayılarla ilgilenir. Asal sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayılar gibi kavramlar tanıtılır. Sonsuz sayıda asal sayı olduğu kanıtlanmıştır.
- Kitap XI–XIII, ile ilgilidir. Tipik bir sonuç, bir koninin hacmi ile aynı yükseklik ve tabana sahip bir silindirin hacmi arasındaki 1:3 orandır. Platonik katılar çizildi.
Aksiyomlar
Öklid geometrisi, tüm teoremlerin ("doğru ifadeler") az sayıda basit aksiyomdan türetildiği aksiyomatik bir sistemdir. Öklid dışı geometrinin ortaya çıkmasına kadar, bu aksiyomların fiziksel dünyada açıkça doğru olduğu düşünülüyordu, böylece tüm teoremler de eşit derecede doğru olacaktı. Bununla birlikte, Öklid'in varsayımlardan sonuçlara kadar akıl yürütmesi, onların fiziksel gerçekliğinden bağımsız olarak geçerliliğini korur.
Elemanlar'ın ilk kitabının başlangıcına yakın bir yerde, Öklid, (Thomas Heath tarafından çevrildiği şekliyle) çizimler açısından belirtilen, düzlem geometri için beş önerme (aksiyom) verir: Aşağıdakileri varsayalım:
- İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.
- Bir doğru parçası iki yöne de sınırsız bir şekilde uzatılabilir.
- Merkezi ve üzerinde bir noktası (yarıçapı) verilen bir çember çizilebilir.
- Bütün dik açılar birbirine eşittir.
- (Paralellik varsayımı): İki düz çizgi üzerine düşen bir doğru, aynı taraftaki iç açıları iki dik açıdan daha az yapıyorsa, iki düz çizgi, eğer sonsuza kadar uzatılırsa, açıların iki dik açıdan daha az olduğu tarafta kesişir. (Bir doğruya dışında alınan bir noktadan bir ve yalnız bir paralel çizilebilir.)
Öklid, çizilmiş nesnelerin varlığını yalnızca açık bir şekilde iddia etse de, muhakemesinde dolaylı olarak benzersiz oldukları varsayılır.
Elemanlar ayrıca aşağıdaki beş "ortak kavramı" içerir:
- Bir şeye eşit olan iki şey, birbirine eşittir. (Öklid bağıntısının geçiş özelliği).
- Eşit olan ögelere, eşit miktarlar eklenirse bu ögeler yine eşit olur. (Eşitliğin toplama özelliği).
- Eşit olan ögelerden, eşit miktarlar çıkarılırsa bu ögeler yine eşit olur. (Eşitliğin çıkarma özelliği).
- Birbirleriyle çakışan şeyler, birbirine eşittir. (Yansıma özelliği)
- Bütün, parçadan daha büyüktür.
Modern bilim adamları, Öklid'in önermelerinin, Öklid'in sunumu için ihtiyaç duyduğu tam mantıksal temeli sağlamadığı konusunda hemfikirdir. Modern yaklaşımlar daha kapsamlı ve eksiksiz aksiyom setleri kullanır.
Paralellik postülatı
Antik dönemdekilere göre, paralellik postülatı diğerlerinden daha az açık görünüyordu. Kesinlikle belirli önermelerden oluşan bir sistem yaratmayı amaçladılar ve onlara göre paralel doğru postülatı daha basit ifadelerle kanıt gerektiriyormuş gibi görünüyordu. Paralellik postülatının doğru olduğu ve diğerlerinin yanlış olduğu tutarlı geometri sistemleri (diğer aksiyomlara sadık kalarak) kurulabildiğinden, böyle bir ispatın imkansız olduğu artık bilinmektedir.Elemanlar’ın organizasyonunun da gösterdiği gibi Öklid'in kendisi de onu diğerlerinden niteliksel olarak farklı olarak değerlendirmiş görünüyor: İlk 28 önermesi onsuz ispatlanabilecek olanlardır.
Paralellik postülatına mantıksal olarak denk olan birçok alternatif aksiyom formüle edilebilir (diğer aksiyomlar bağlamında). Örneğin, şöyle der:
“ | Bir düzlemde, belirli bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan, verilen doğruyu asla kesmeyen en fazla bir doğru çizilebilir. | „ |
Geriye kalan aksiyomlardan en az bir paralel doğrunun var olduğu kanıtlanabildiğinden, gereken tek şey "en fazla" koşuludur.
İspat yöntemleri
Öklid Geometrisi yapıcıdır. 1, 2, 3 ve 5 nolu postülatlar, belirli geometrik şekillerin varlığını ve benzersizliğini ileri sürer ve bu iddialar yapıcı niteliktedir: yani, bize yalnızca belirli şeylerin var olduğu söylenmez, aynı zamanda bir pusula ve işaretsiz bir cetvelden fazlası ile olmasa da bunları oluşturmak için yöntemler de verilir. Bu anlamda Öklid geometrisi, çoğu kez nesnelerin nasıl çizileceğini söylemeden varlığını iddia eden ve hatta teori içinde çizilemeyen nesnelerin varlığını iddia eden küme teorisi gibi birçok modern aksiyomatik sistemden daha somuttur. Açıkça söylemek gerekirse, kağıt üzerindeki doğrular, bu nesnelerin örneklerinden ziyade biçimsel sistem içinde tanımlanan nesnelerin modelleridir. Örneğin, bir Öklid doğrusunun genişliği yoktur, ancak herhangi bir gerçek çizilmiş doğrunun genişliği olacaktır. Neredeyse tüm modern matematikçiler yapıcı olmayan yöntemleri yapıcı yöntemler kadar sağlam kabul etseler de, Öklid'in yapıcı kanıtları çoğu zaman yanlış, yapıcı olmayanların yerini aldı - örneğin, Pisagorcuların irrasyonel sayıları içeren bazı kanıtlarının, genellikle ".....'nın en büyük ortak ölçüsünü bulun." gibi.
Öklid sıklıkla kullandı. Öklid geometrisi, bir şeklin uzayda başka bir noktaya aktarıldığı üst üste binme (süperpozisyon) yöntemine de izin verir. Örneğin, üçgenlerin kenar-açı-kenar benzerliği olan Önerme I.4, iki üçgenden birini, kenarlarından biri, diğer üçgenin eşit kenarı ile çakışacak şekilde hareket ettirerek ve ardından diğer kenarların da çakıştığını kanıtlayarak kanıtlar. Bazı modern yaklaşımlar, üst üste binmeye alternatif olarak kullanılabilen, üçgenin değişmezliği olan altıncı bir varsayım ekler.
Ölçüm sistemi ve aritmetik
Öklid geometrisinin iki temel ölçüm türü vardır: açı ve mesafe. Açı ölçeği mutlaktır ve Öklid, temel birimi olarak dik açıyı kullanır, böylece, örneğin, 45 derecelik bir açı, bir dik açının yarısı olarak anılacaktır. Mesafe ölçeği görecelidir; birim olarak sıfır olmayan belirli bir uzunluğa sahip bir doğru parçasını rastgele seçer ve diğer mesafeler bununla ilişkili olarak ifade edilir. Mesafelerin eklenmesi, bir doğru parçasının uzunluğunu uzatmak için başka bir doğru parçasının sonuna kopyalandığı ve benzer şekilde çıkarma için tersi işlem yapılan bir yapı ile temsil edilir.
Alan ve hacim ölçümleri mesafelerden elde edilir. Örneğin, genişliği 3 ve uzunluğu 4 olan bir dikdörtgen, çarpımı yani 12'yi temsil eden bir alana sahiptir. Çarpmanın bu geometrik yorumu üç boyutla sınırlı olduğundan, dört veya daha fazla sayının çarpımını yorumlamanın doğrudan bir yolu yoktu ve Öklid, örneğin IX Kitap, Önerme 20'nin ispatında ima edilmesine rağmen bu tür çarpımlardan kaçındı.
Öklid, bir çift doğrunun veya bir çift düzlemin veya katı şeklin, sırasıyla uzunlukları, alanları veya hacimleri eşitse "eşit (Grekçe: ἴσος)" olarak işaret eder ve açılar için de benzer şekilde. Daha güçlü olan "eşlenik (denk)" terimi, tüm bir şeklin başka bir şekil ile aynı boyut ve şekilde olduğu fikrine atıfta bulunur. Alternatif olarak, biri diğerinin üzerine hareket ettirilebiliyorsa, iki şekil denktir, böylece tam olarak eşleşir. (Döndürmeye izin verilir). Bu nedenle, örneğin, 2x6 dikdörtgen ve 3x4 dikdörtgen eşittir ancak denk değildir ve R harfi onun ayna görüntüsüyle denktir. Farklı boyutları haricinde eşlenik olacak şekiller benzer olarak adlandırılır. Bir çift benzer şekilde karşılık gelen açılar eştir ve karşılık gelen kenarlar birbiriyle orantılıdır.
Notasyon ve terminoloji
Noktaların ve şekillerin isimlendirilmesi
Noktalar geleneksel olarak alfabenin büyük harfleri kullanılarak adlandırılır. Doğrular, üçgenler veya daireler gibi diğer şekiller, ilgili şeklin net bir biçimde seçilebilmesi için yeterli sayıda nokta listelenerek adlandırılır, örneğin ABC üçgeni tipik olarak A, B ve C noktalarında köşeleri olan bir üçgen olacaktır.
Bütünler ve tümler açılar
Toplamı dik açı olan açılara, tümler denir. Bir ışın aynı tepe noktasını paylaştığında ve dik açıyı oluşturan iki orijinal ışın arasındaki bir yöne işaret edildiğinde tümler açılar oluşur. İki orijinal ışın arasındaki ışınların sayısı sonsuzdur.
Toplamı düz bir açı olan açılar, bütünlerdir. Bir ışın aynı tepe noktasını paylaştığında ve düz açıyı (180 derecelik açı) oluşturan iki orijinal ışın arasındaki bir yöne işaret edildiğinde bütünler açılar oluşur. İki orijinal ışın arasındaki ışınların sayısı sonsuzdur.
Öklid gösteriminin modern versiyonları
Modern terminolojide, açılar normalde derece veya radyan cinsinden ölçülür.
Modern okul ders kitapları genellikle doğrular (sonsuz), ışınlar (yarı-sonsuz) ve doğru parçaları (sonlu uzunlukta) olarak adlandırılan ayrı şekiller tanımlar. Öklid, bir ışını tek yönde sonsuzluğa uzanan bir nesne olarak tanımlamak yerine, zaman zaman "sonsuz doğrulardan" söz etmesine rağmen, normalde "doğru yeterli bir uzunluğa uzatılırsa" gibi konumlandırmaları kullanır. Öklid'deki bir "doğru" ya düz ya da kavisli olabilir ve gerektiğinde daha spesifik olan "düz doğru" terimini kullandı.
Bazı önemli veya iyi bilinen sonuçlar
- Pons asinorum veya eşekler köprüsü teoremi; bir ikizkenar üçgende ve 'dir.
- Üçgen açı toplam teoremi, herhangi bir üçgenin üç açısının toplamının, bu durumda ve açılarının her zaman 180 dereceye eşit olacağını belirtir.
- Pisagor teoremi, bir dik üçgenin bacakları (a ve b) üzerindeki iki karenin alanlarının toplamının, hipotenüs (c) üzerindeki karenin alanına eşit olduğunu belirtir.
- Thales teoremi, AC bir çapsa, B'deki açının dik açı olduğunu belirtir.
Pons Asinorum
Pons asinorum (eşek köprüsü), ikizkenar üçgenlerde tabandaki açıların birbirine eşit olduğunu ve eşit düz doğrular daha fazla uzatılırsa, tabanın altındaki açıların birbirine eşit olduğunu belirtir. Adı, okuyucunun zekasının Elemanlar'daki ilk gerçek sınav olarak sık sık rol oynamasına ve ardından gelen daha zor önermelere bir köprü olarak atfedilebilir. Ayrıca, geometrik şeklin dik bir köprüye benzemesi nedeniyle sadece sağlam ayaklı bir eşeğin geçebileceği biçiminde adlandırılmış olabilir.
Üçgenlerin denkliği
Üç kenarı da eşitse (KKK), iki kenarı ve aralarındaki açı eşitse (KAK) veya iki açı ve bir kenarı eşitse (AKA) (Kitap I, Önermeler 4, 8 ve 26) üçgenler denktir. Üç eşit açılı (AAA) üçgenler benzerdir, ancak mutlaka denk değildir. Ayrıca, iki eşit kenarlı ve bitişik bir açıya sahip üçgenler mutlaka eşit veya denk değildir.
Üçgenin açıları toplamı
Bir üçgenin açılarının toplamı düz bir açıya (180 derece) eşittir. Bu, bir eşkenar üçgenin 60 derecelik üç iç açıya sahip olmasına neden olur. Ayrıca, her üçgenin en az iki dar açıya ve bir geniş açıya veya dik açıya sahip olmasına neden olur.
Pisagor teoremi
Ünlü Pisagor teoremi (Kitap I, Önerme 47) herhangi bir dik üçgende, kenarı hipotenüs olan karenin alanının (dik açının karşısındaki kenar), kenarları iki bacak (dik açıyla birleşen iki kenar) olan karelerin alanlarının toplamına eşit olduğunu belirtir.
Thales teoremi
Miletli Thales'in adını taşıyan Thales teoremi, A, B ve C, AC doğrusunun dairenin çapı olduğu bir daire üzerindeki noktalarsa, ABC açısının dik açı olduğunu belirtir. Cantor, Thales'in teoremi Öklid Kitap I, Önerme 32 ile Öklid Kitap III, Önerme 31'in tarzından sonra kanıtladığını varsaydı.
Alan ve hacmin ölçeklendirilmesi
Modern terminolojide, bir düzlem şeklin alanı, doğrusal boyutlarından herhangi birinin karesiyle orantılıdır, ve bir katının hacmi küpüyle, . Öklid, bu sonuçları bir daire alanı ve paralel yüzlü bir katının hacmi gibi çeşitli özel durumlarda kanıtladı. Öklid, orantılılığın ilgili sabitlerinin hepsini değil, bazılarını belirledi. Örneğin, bir kürenin hacminin, kendisini çevreleyen silindirin hacminin 2/3'ü olduğunu kanıtlayan onun halefi Arşimet'ti.
Uygulamalar
Öklid geometrisinin matematikteki temel statüsü nedeniyle, burada uygulamaların temsili bir örneklemesinden fazlasını vermek pratik değildir.
- Bir yerölçümcü bir kullanır.
- , bir yığın portakal için geçerlidir.
- Parabolik bir ayna, paralel gelen ışık ışınlarını bir odakta toplar.
Kelimenin etimolojisinde önerildiği gibi, geometriye ilgi duymanın en eski nedenlerinden biri ölçme idi ve resmen kanıtlanmadan çok önce Öklid geometrisinden 3-4-5 üçgeninin dik açı özelliği gibi bazı pratik sonuçlar kullanıldı. Öklid geometrisindeki temel ölçüm türleri, her ikisi de doğrudan bir araştırmacı tarafından ölçülebilen mesafeler ve açılardır. Tarihsel olarak, mesafeler genellikle Gunter zinciri gibi zincirlerle ve dereceli dairelerle ve daha sonra teodolit kullanılarak açılar ile ölçülürdü.
Öklid uzay geometrisinin bir uygulaması, n boyutlu kürelerin en verimli şekilde sıkıştırılmasını bulma problemi gibi, sıkıştırma düzenlemelerinin belirlenmesidir. Bu problemin hata tespiti ve düzeltilmesinde uygulamaları vardır.
Geometrik optik, ışığın mercekler ve aynalarla odaklanmasını analiz etmek için Öklid geometrisini kullanır.
- Geometri, sanatta ve mimaride kullanılır.
- Su kulesi bir koni, bir silindir ve bir yarım küreden oluşur. Hacmi uzay geometri kullanılarak hesaplanabilir.
- Geometri, origami tasarlamak için kullanılabilir.
Geometri, mimaride yaygın olarak kullanılmaktadır.
Geometri, origami tasarlamak için kullanılabilir. Geometrinin bazı klasik yapım problemlerini, yalnızca pergel ve çizgilik (yani eş ölçeksiz, sadece doğru çizmeye yarayan bir cetvel) kullanılarak gerçeklemek imkansızdır, ancak origami kullanılarak çözülebilir.
Oldukça fazla sayıda CAD (bilgisayar destekli tasarım) ve Öklid geometrisine dayanmaktadır. Tasarım geometrisi tipik olarak düzlemler, silindirler, koniler, toruslar vb. ile sınırlanmış şekillerden oluşur. Günümüzde CAD/CAM, arabalar, uçaklar, gemiler ve akıllı telefonlar dahil olmak üzere hemen hemen her şeyin tasarımında çok önemlidir. Birkaç on yıl önce, sofistike ressamlar, ve Brianchon teoremi gibi şeyler de dahil olmak üzere oldukça gelişmiş bazı Öklid geometrisini öğrendiler. Ama artık buna gerek yok çünkü geometrik yapıların tamamı CAD programları tarafından tasarlanıyor.
- 3 boyutlu elektrik motoru
Uzayın yapısının bir açıklaması olarak
Öklid, aksiyomlarının fiziksel gerçeklikle ilgili apaçık ifadeler olduğuna inanıyordu. Öklid'in ispatları, belki de Öklid'in temel aksiyomlarında açık olmayan varsayımlara bağlıdır, özellikle şekillerin belirli hareketlerinin, şekillerin ötelenmesini, yansımalarını ve dönüşlerini içeren sözde Öklid hareketleri, kenarların uzunlukları ve iç açılar gibi geometrik özelliklerini değiştirmez. Uzayın fiziksel bir açıklaması olarak ele alındığında, postülat 2 (bir doğruyu uzatan) uzayın deliklere veya sınırlara sahip olmadığını (başka bir deyişle, uzay homojen ve sınırsızdır); postülat 4 (dik açıların eşitliği) uzayın izotropik olduğunu ve şekillerin denklik korunurken herhangi bir yere taşınabileceğini söyler; ve postülat 5 ((paralellik postülatı)) uzayın düz olduğunu (içsel eğriliği olmadığını) var sayar.
Aşağıda daha ayrıntılı olarak tartışıldığı gibi, Albert Einstein'ın görelilik teorisi bu görüşü önemli ölçüde değiştirir.
Orijinal olarak Öklid tarafından formüle edilen aksiyomların muğlak karakteri, farklı yorumcuların uzayın yapısına ilişkin diğer sonuçlarından bazıları, örneğin sonsuz olup olmadığı (aşağıya bakınız) ve topolojisinin ne olduğu konusunda anlaşamamalarına olanak sağlar. Sistemin modern, daha sıkı yeniden formülasyonları tipik olarak bu sorunların daha temiz bir şekilde bertaraf edilmesini amaçlamaktadır. Öklid aksiyomlarını bu daha modern yaklaşımın ruhunda yorumlayarak, 1-4. aksiyomlar ya sonsuz ya da sonlu uzay ile tutarlıdır (eliptik geometride olduğu gibi) ve beş aksiyomun tümü çeşitli topolojilerle (örneğin, bir düzlem, bir silindir veya iki boyutlu Öklid geometrisi için bir simit) tutarlıdır.
Sonraki çalışmalar
Arşimet ve Apollonius
Hakkında pek çok tarihsel anekdotun kaydedildiği renkli bir şahsiyet olan Arşimet (MÖ 287 - MÖ 212), Öklid ile birlikte en büyük antik matematikçilerden biri olarak hatırlanır. Çalışmalarının temelleri Öklid tarafından atılmış olsa da, Öklid'in aksine çalışmalarının tamamen orijinal olduğuna inanılıyor. İki ve üç boyutlu çeşitli şekillerin hacimleri ve alanları için denklemleri ispatladı ve sonlu sayıların Arşimet özelliğini açıkladı.
Perge'li Apollonius (MÖ 262 - MÖ 190 dolayları) esas olarak konik kesitleri araştırmasıyla tanınır.
17. yüzyıl: Descartes
René Descartes (1596-1650), geometriyi cebire dönüştürmeye odaklanan ve geometriyi biçimlendirmek için alternatif bir yöntem olan analitik geometriyi geliştirdi.
Bu yaklaşımda, bir düzlemdeki bir nokta Kartezyen (x, y) koordinatlarıyla temsil edilir, bir doğru denklemiyle temsil edilir ve bu böyle devam eder.
Öklid'in orijinal yaklaşımında, Pisagor teoremi, Öklid'in aksiyomlarını izler. Kartezyen yaklaşımda, aksiyomlar cebrin aksiyomlarıdır ve Pisagor teoremini ifade eden denklem, şimdi teorem olarak kabul edilen Öklid aksiyomlarındaki terimlerden birinin tanımıdır.
İki nokta P = (px, py) ve Q = (qx, qy) arasındaki mesafeyi tanımlayan aşağıdaki denklem;
Öklid metriği olarak bilinir ve diğer ölçütler Öklid dışı geometrileri tanımlar.
Analitik geometri açısından, klasik geometrinin pergel ve düz kenarlı cetvelle çizim sınırlandırılması, birinci ve ikinci dereceden denklemlerde bir sınırlama anlamına gelir, örneğin, y = 2x + 1 (bir doğru) veya x2 + y2 = 7 (bir çember).
Aynı zamanda 17. yüzyılda, perspektif teorisinin motive ettiği Girard Desargues, sonsuzda idealize edilmiş noktalar, doğrular ve düzlemler kavramını tanıttı. Sonuç bir tür genelleştirilmiş geometri (projektif geometri) olarak düşünülebilir, ancak aynı zamanda özel durumların sayısının azaltıldığı sıradan Öklid geometrisinde ispat üretmek için de kullanılabilir.
18. yüzyıl
18. yüzyılın geometricileri, Öklid sisteminin sınırlarını belirlemek için mücadele etti. Birçoğu, ilk dördünden beşinci varsayımı ispatlamak için boşuna uğraştı. 1763'e gelindiğinde, en az 28 farklı kanıt yayınlandı, ancak tümü yanlış bulundu.
Bu döneme kadar, geometriciler ayrıca Öklid geometrisinde hangi çizimlerin başarılabileceğini belirlemeye çalıştılar. Örneğin, pergel ve cetvel ile verilen bir problemi, teoride doğal olarak ortaya çıkan bir problemdir, çünkü aksiyomlar, bu araçlarla gerçekleştirilebilecek yapıcı işlemlere atıfta bulunur. Ancak, 1837'de böyle bir çizimin imkansız olduğuna dair bir kanıt yayınlayana kadar, yüzyıllar süren çabalar bu probleme bir çözüm bulamadı. İmkansız olduğu kanıtlanan diğer çizimler arasında Küpü iki katına çıkarma (Delos Problemi) ve Daireyi kareyle çevreleme yer alıyor. Küpün hacminin ikiye katlanması durumunda, çizimin imkansızlığı, pergel ve cetvel yönteminin, sıralaması ikinin integral kuvveti olan denklemleri içermesinden kaynaklanır, bir küpün hacmini iki katına çıkarmak, üçüncü dereceden bir denklemin çözümünü gerektirir.
Euler, üçüncü ve dördüncü postülatları açı (dik üçgenler anlamsız hale gelir) ve genel olarak doğru parçalarının uzunluklarının eşitliği (çemberler anlamsız hale gelir) kavramlarını ortadan kaldıracak şekilde zayıflatarak paralellik kavramlarını çizgiler arasında bir eşdeğerlik ilişkisi ve paralel doğru parçalarının uzunluklarının eşitliği olarak korurken (böylece doğru parçalarının bir orta noktası vardır) beşinci postülatı değiştirilmemiş olarak tutarak Öklid geometrisinin adı verilen bir genellemesini tartıştı.
19. yüzyıl ve Öklid dışı geometri
19. yüzyılın başlarında, ve Möbius, sonuçları basitleştirme ve birleştirmenin bir yolu olarak işaretli açıların ve çizgi parçalarının kullanımını sistematik olarak geliştirdi.
Yüzyılın geometrideki en önemli gelişimi, 1830'larda János Bolyai ve Nikolai Ivanovich Lobachevsky, paralellik postülatın geçerli olmadığı Öklid dışı geometri üzerine ayrı ayrı yayınladıkları zaman meydana geldi. Öklid dışı geometri, Öklid geometrisiyle kanıtlanabilir şekilde nispeten tutarlı olduğundan, paralellik postülatı diğer postülalardan kanıtlanamaz.
19. yüzyılda, Öklid'in on aksiyomunun ve genel mefhumlarının Elemanlar’da belirtilen tüm teoremleri ispatlamak için yeterli olmadığı da anlaşıldı. Örneğin, Öklid örtük olarak herhangi bir doğrunun en az iki nokta içerdiğini varsaydı, ancak bu varsayım diğer aksiyomlardan kanıtlanamaz ve bu nedenle de bir aksiyom olması gerekir. Yukarıdaki şekilde gösterilen Elemanlar'daki ilk geometrik kanıt, herhangi bir doğru parçasının bir üçgenin parçası olduğudur; Öklid, her iki uç noktanın etrafına daireler çizerek ve bunların kesişimini üçüncü köşe olarak alarak bunu her zamanki gibi çizer. Bununla birlikte, aksiyomları, çemberlerin gerçekte kesiştiğini garanti etmez, çünkü Kartezyen terimlerle gerçek sayıların tamlık özelliğine eşdeğer olan sürekliliğin geometrik özelliğini iddia etmezler. 1882'de ile başlayarak, en iyi bilinenleri Hilbert,Birkhoff, ve Tarski'ninki olmak üzere, geometri için birçok gelişmiş aksiyomatik sistem önerilmiştir.
20. yüzyıl ve görelilik
Einstein'ın özel görelilik teorisi, dört boyutlu bir uzay-zamanı, Öklidyen olmayan Minkowski uzayını içerir. Bu, (paralellik postülatının) kanıtlanamayacağını göstermek için görelilik kuramından birkaç yıl önce ortaya atılan Öklid dışı geometrilerin fiziksel dünyayı tanımlamak için de yararlı olduğunu göstermektedir.
Bununla birlikte, Minkowski uzayının üç boyutlu "uzay kısmı" Öklid geometrisinin uzayı olarak kalır. Uzay-zamanın uzay bölümünün geometrisinin Öklid geometrisi olmadığı genel görelilik durumu böyle değildir. Örneğin, üç ışık ışınından bir üçgen oluşturulmuşsa, o zaman genel olarak iç açıların toplamı yer çekimi nedeniyle 180 dereceyi bulmaz. Dünya'nın veya Güneş'inki gibi nispeten zayıf bir yer çekimi alanı, yaklaşık olarak, ancak tam olarak değil, Öklid olan bir ölçü ile temsil edilir. 20. yüzyıla kadar Öklid geometrisinden sapmalarını tespit edebilecek bir teknoloji yoktu, ancak Einstein bu tür sapmaların var olacağını öngördü. Daha sonra 1919'da bir güneş tutulması sırasında Güneş'in yıldız ışığının hafif bükülmesi gibi gözlemlerle doğrulandılar ve bu tür düşünceler artık GPS sistemini çalıştıran yazılımın ayrılmaz bir parçası.
Sonsuzluk yaklaşımı
Sonsuz nesneler
Öklid bazen "sonlu doğrular" (örneğin, Postülat 2) ve " sonsuz doğrular" (Kitap I, Önerme 12) arasında açıkça ayrım yapar. Ancak, gerekli olmadıkça tipik olarak bu tür ayrımlar yapmazdı. Postülatlar açık bir şekilde sonsuz doğrulara atıfta bulunmazlar, ancak örneğin bazı yorumcular, herhangi bir yarıçapa sahip bir dairenin varlığını postulat 3'ü, uzayın sonsuz olduğunu ima ettiği şeklinde yorumlarlar.
Sonsuz küçük nicelikler kavramı daha önce Elea Okulu (Eleatic School) tarafından kapsamlı bir şekilde tartışılmıştı, ancak hiç kimse onları kesin bir mantıksal temele oturtamamıştı, Zeno'nun paradoksu gibi evrensel tatmin için çözülmemiş paradokslar ortaya çıktı. Öklid, sonsuz küçükler yerine tükenme yöntemini kullandı.
Proclus (MÖ 410-485) gibi daha sonraki antik yorumcular, sonsuzluk hakkındaki birçok soruyu ispat gerektiren konular olarak ele aldılar ve örneğin Proclus, vakaları ele aldığı çelişki yoluyla kanıta dayanarak onu oluşturan çift ve tek sayıların durumlarını değerlendirerek bir doğrunun sonsuz bölünebilirliğini kanıtladığını iddia etti.
20. yüzyılın başında, , , ve diğerleri, Newton-Leibniz algısında iki nokta arasındaki mesafenin sonsuz veya sonsuz küçük olabileceği Öklid geometrisinin Arşimet özelliği olmayan modelleri üzerinde tartışmalı çalışmalar ürettiler. Elli yıl sonra, Abraham Robinson, 'nin çalışmaları için sağlam bir mantıksal temel sağladı.
Sonsuz süreçler
Kadimlerin paralellik postülatını diğerlerinden daha az kesin olarak ele almalarının bir nedeni, çok uzak bir noktada bile asla kesişmediklerini kontrol etmek için fiziksel olarak doğrulamanın, iki doğruyu incelememizi gerektirmesidir ve bu inceleme potansiyel olarak sonsuz bir zaman alabilir.
Tümevarım yoluyla ispatın modern formülasyonu 17. yüzyıla kadar geliştirilmemiştir, ancak daha sonraki bazı yorumcular, bunun Öklid'in bazı ispatlarında örtük olarak bulunduğunu, örneğin asalların sonsuzluğunun kanıtında olduğunu düşünürler.
Zeno'nun paradoksu gibi sonsuz dizileri içeren varsayımsal paradokslar Öklid'den önceydi. Öklid bu tür tartışmalardan kaçındı, örneğin Kitap IX, Önerme 35'teki geometrik serinin kısmi toplamlarının ifadesini terimlerin sayısının sonsuz olmasına izin verme olasılığı üzerine yorum yapmadan verdi.
Mantıksal temel
Klasik mantık
Öklid sık sık çelişki ile ispat yöntemini kullandı ve bu nedenle Öklid geometrisinin geleneksel sunumu, her önermenin doğru ya da yanlış olduğu klasik mantığı varsayar, yani herhangi bir P önermesi için, "P ya da P değil" önermesi otomatik olarak doğrudur.
Modern kesinlik standartları
Matematikçiler yüzyıllardır Öklid geometrisini sağlam bir aksiyomatik temele oturtmak ile meşguldü. İlkel kavramların veya tanımlanmamış kavramların rolü, Peano delegasyonundan Alessandro Padoa tarafından 1900 Paris konferansında açıkça ortaya konmuştu:
O halde, başlangıçta seçtiğimiz fikirler sistemi basitçe tanımlanmamış sembollerin bir yorumudur; ama bu yorum, zihninde onu koşulları karşılayan başka bir yorum ile değiştirmekte özgür olan okuyucu tarafından göz ardı edilebilir ...
Böylece mantıksal sorular, ampirik veya psikolojik sorulardan tamamen bağımsız hale gelir ...
Tanımlanmamış semboller sistemi, bu durumda özelleşmiş teorilerden elde edilen soyutlama olarak kabul edilebilir ... tanımlanmamış semboller sistemi ardışık olarak yorumların her biri ile değiştirilir ...Yani matematik, hiyerarşik bir çerçeve içindeki bağlamdan bağımsız bilgidir. Bertrand Russell'ın söylediği gibi:
Bu tür temel yaklaşımlar, temelcilik ve biçimcilik arasında değişir.
Aksiyomatik formülasyonlar
- : Cambridge'deki Trinity College'da yazdığı tezinde Bertrand Russell, o zamana kadar filozofların zihninde Öklid'in geometrisinin değişen rolünü özetledi. Deneysel girdi gerektiren, deneyden bağımsız belirli bilgi ile deneycilik arasında bir çatışmaydı. (Paralellik postülatının) zorunlu olarak geçerli olmadığı ve uygulanabilirliğinin deneysel bir mesele olduğu keşfedildiğinden, bu sorun netleşti ve uygulanabilir geometrinin Öklidsel mi yoksa Öklid dışı mı olduğuna karar verdi.
- : Hilbert'in aksiyomları, en önemli geometrik teoremlerin çıkarılabileceği basit ve eksiksiz bir bağımsız aksiyomlar kümesini tanımlama amacına sahipti. Göze çarpan hedefler, Öklid geometrisini (gizli varsayımlardan kaçınarak) kesin hale getirmek ve paralellik postülatının sonuçlarını açıklığa kavuşturmaktı.
- : Birkhoff, Öklid geometrisi için ölçek ve açıölçer ile deneysel olarak doğrulanabilen dört varsayım önerdi. Bu sistem, büyük ölçüde gerçek sayıların özelliklerine dayanır.Açı ve mesafe kavramları ilkel kavramlar haline gelir.
- : Alfred Tarski (1902-1983) ve öğrencileri, Hilbert'in aksiyomlarının aksine, birinci dereceden mantıkla ifade edilebilen ve mantıksal temeli için küme teorisine bağlı olmayan geometri olarak temel Öklid geometrisini tanımladılar. nokta kümelerini içeren. Tarski, temel Öklid geometrisinin aksiyomatik formülasyonunun belirli bir anlamda tutarlı ve eksiksiz olduğunu kanıtladı: Her önerme için doğru veya yanlış gösterilebilecek bir algoritma var. (Bu, Gödel'in teoremini ihlal etmez, çünkü Öklid geometrisi, teoremin uygulanması için yeterli miktarda aritmetiği tanımlayamaz. Bu, temel Öklid geometrisinin bir model olduğu gerçek kapalı cisimlerin karar verilebilirliğine eşdeğerdir.
Ayrıca bakınız
- Analitik Geometri
- Kartezyen koordinat sistemi
- Metrik uzay
- Öklid dışı geometri
- (Paralellik postülatı)
Klasik teoremler
Notlar
- ^ a b Eves 1963, s. 19
- ^ Eves 1963, s. 10
- ^ Misner, Thorne & Wheeler (1973), s. 47
- ^ Öklid varsayımları, (Harold E. Wolfe (2007). Introduction to Non-Euclidean Geometry. Mill Press. s. 9. ISBN . 21 Ağustos 2020 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.)'de modern bir perspektiften tartışılmaktadır.
- ^ tr. Heath, ss. 195-202.
- ^ Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry, Prentice-Hall, s. 8, ISBN
- ^ Florence P. Lewis (Jan 1920), "History of the Parallel Postulate", The American Mathematical Monthly, The American Mathematical Monthly, Vol. 27, No. 1, 27 (1), ss. 16-23, doi:10.2307/2973238, JSTOR 2973238.
- ^ Ball, s. 56
- ^ Öklid'in varsayımları içinde kalarak, üçgenler ve kareler için bir formül vermek oldukça kolaydır. Bununla birlikte, küme teorisi gibi daha genel bir bağlamda, örneğin bir karenin alanının, parçalarının alanlarının toplamı olduğunu kanıtlamak o kadar kolay değildir. Bkz. ve .
- ^ Daniel Shanks (2002). Solved and Unsolved Problems in Number Theory. American Mathematical Society.
- ^ Coxeter, s. 5
- ^ Euclid, book I, proposition 5, tr. Heath, s. 251
- ^ Kitap I, Önerme 5'in iddia edilen zorluğunu göz ardı ederek, Sir Thomas L. Heath başka bir yorumdan bahsediyor. Bu, şeklin alt düz doğrularının bir eşek tarafından geçilebilen ancak bir atla geçilemeyen dik eğimli bir köprüye benzemesine dayanmaktadır: "Ama (son zamanlarda öğrendiğim gibi) eşek için daha tamamlayıcı olan başka bir görüş var. Önerinin şeklin bir sehpa köprüsü gibi olması, her iki ucunda bir rampa olması daha pratiktir, şekil ne kadar düz çizilirse, köprü öyle ki, bir at rampayı aşamazken, eşek aşabilirdi; başka bir deyişle, terim, herhangi bir istihbarat isteğinden ziyade ayakların sağlamlığına atıfta bulunur." ("Excursis II," volume 1 of Heath's translation of The Thirteen Books of the Elements.)
- ^ Euclid, book I, proposition 32
- ^ Heath, s. 135. Extract of page 135 18 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
- ^ Heath, s. 318
- ^ Euclid, book XII, proposition 2
- ^ Euclid, book XI, proposition 33
- ^ Ball, s. 66
- ^ Ball, s. 5
- ^ Eves, vol. 1, s. 5; Mlodinow, s. 7
- ^ "Origami and Geometric Constructions". 18 Haziran 2019 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
- ^ "Euclid's axioms". The Non-Euclidean Revolution. Birkhäuser. 2008. ss. 39 ff. ISBN . 25 Şubat 2021 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
- ^ See, for example: Shape analysis and classification: theory and practice. CRC Press. 2001. s. 314. ISBN . 10 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 4 Kasım 2020. and Computational Line Geometry. Springer. 2010. s. 60. ISBN . 9 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 4 Kasım 2020. The group of motions underlie the metric notions of geometry. See Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry. Reprint of 1939 Macmillan Company. Courier Dover. 2004. s. 167. ISBN . 10 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
- ^ The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe. Vintage Books. 2007. s. 29. ISBN . 10 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
- ^ a b Heath, s. 200
- ^ e.g., Tarski (1951)
- ^ Eves, s. 27
- ^ Ball, pp. 268ff
- ^ Eves (1963)
- ^ Hofstadter 1979, s. 91.
- ^ Theorem 120, Elements of Abstract Algebra, Allan Clark, Dover,
- ^ Eves (1963), s. 64
- ^ Ball, s. 485
- ^ , 1997 (1958). Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover.
- ^ Birkhoff, G. D., 1932, "A Set of Postulates for Plane Geometry (Based on Scale and Protractors)," Annals of Mathematics 33.
- ^ a b Tarski (1951)
- ^ Misner, Thorne, and Wheeler (1973), s. 191
- ^ Ball, s. 31
- ^ Heath, s. 268
- ^ Giuseppe Veronese, On Non-Archimedean Geometry, 1908. English translation in Real Numbers, Generalizations of the Reals, and Theories of Continua, ed. Philip Ehrlich, Kluwer, 1994.
- ^ Robinson, Abraham (1966). Non-standard analysis.
- ^ Paralellik postülatı diğerlerinden daha az açık olarak düşünen kadim insanların tarihsel nedeninin bu olduğu iddiası için bkz. Nagel ve Newman 1958, s. 9.
- ^ Cajori (1918), s. 197
- ^ a b A detailed discussion can be found in James T. Smith (2000). "Chapter 2: Foundations". Methods of geometry. Wiley. ss. 19 ff. ISBN . 2 Kasım 2020 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
- ^ Société française de philosophie (1900). Revue de métaphysique et de morale, Volume 8. Hachette. s. 592. 10 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
- ^ "Mathematics and the metaphysicians". The world of mathematics. Reprint of Simon and Schuster 1956. 3. Courier Dover Publications. 2000. s. 1577. ISBN . 10 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
- ^ "Introduction". An essay on the foundations of geometry. Cambridge University Press. 1897. 17 Aralık 2019 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
- ^ "Chapter 2: The five fundamental principles". Basic Geometry. 3rd. AMS Bookstore. 1999. ss. 38 ff. ISBN . 9 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
- ^ "Chapter 3: Elementary Euclidean Geometry". Cited work. ss. 84 ff. 17 Aralık 2019 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
- ^ Elementary geometry from an advanced standpoint. 3rd. Addison–Wesley. 1990. ISBN . 9 Aralık 2014 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
- ^ "§1.4 Hilbert and Birkhoff". Geometry: ancient and modern. Oxford University Press. 2001. ISBN . 21 Temmuz 2011 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
- ^ "What is elementary geometry". Studies in Logic and the Foundations of Mathematics – The Axiomatic Method with Special Reference to Geometry and Physics. Proceedings of International Symposium at Berkeley 1957-8; Reprint. Brouwer Press. 2007. s. 16. ISBN . 11 Temmuz 2020 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
We regard as elementary that part of Euclidean geometry which can be formulated and established without the help of any set-theoretical devices
- ^ "Tarski's logic". Logic from Russell to Church. Elsevier. 2009. s. 574. ISBN . 28 Şubat 2021 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 4 Kasım 2020.
- ^ Franzén, Torkel (2005). Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse. AK Peters. . Pp. 25-26.
Kaynakça
- Ball, W.W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] bas.). New York: Dover Publications. ss. 50-62. ISBN .
- (1961). Introduction to Geometry. New York: Wiley.
- Eves, Howard (1963). A Survey of Geometry (Volume One). Allyn and Bacon.
- Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] bas.). New York: Dover Publications. In 3 vols.: vol. 1 , vol. 2 , vol. 3 . Heath's authoritative translation of Euclid's Elements, plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
- Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). . W.H. Freeman.
- Mlodinow (2001). Euclid's Window. The Free Press.
- Nagel, E.; Newman, J.R. (1958). Gödel's Proof. New York University Press.
- Tarski, Alfred (1951). A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. Univ. of California Press.
Dış bağlantılar
Wikimedia Commons'ta Euclidean geometry ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır. |
- Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Euclidean geometry", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN
- Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Plane trigonometry", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN
- Kiran Kedlaya. . 26 Ekim 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. (analitik geometri kullanan bir işlem; PDF, GFDL lisanslı)
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Oklid geometrisi Iskenderiyeli Yunan matematikci Oklid e atfedilen matematiksel bir sistemdir ve onun Elemanlar adli geometri uzerine ders kitabinda tarif edilmektedir Oklid in yontemi sezgisel olarak cekici kucuk bir aksiyom seti varsaymaktan ve bu aksiyomlara dayanarak bircok baska onermeyi teoremleri cikarmaktan ibarettir Oklid in sonuclarinin cogu daha onceki matematikciler tarafindan ifade edilmis olsa da Oklid bu onermelerin kapsamli bir tumdengelimli ve mantiksal sisteme nasil uyabilecegini gosteren ilk kisi oldu Elemanlar ilk aksiyomatik sistem ve resmi ispatin ilk ornekleri olarak ortaokulda lise hala ogretilen duzlem geometrisi ile baslar Uc boyutlu kati geometrisi uzay geometrisi ile devam ediyor Elemanlar in cogu geometrik dilde aciklanan simdi cebir ve sayi teorisi olarak adlandirilan seyin sonuclarini belirtir Raphael in Atina Okulu ndan bir detay geometrik bir sekil cizmek icin pergel kullanan bir Yunan matematikciyi belki de Oklid veya Arsimet i temsil ediyor Iki bin yildan fazla bir donem icin Oklid sifati gereksizdi cunku baska hicbir geometri tasarlanmamisti Oklid in aksiyomlari sezgisel olarak o kadar acik gorunuyordu paralellik postulatinin olasi istisnasi disinda onlardan ispatlanan herhangi bir teorem mutlak cogu zaman metafiziksel anlamda dogru kabul edildi Ancak gunumuzde ilkleri 19 yuzyilin baslarinda kesfedilen diger bircok kendinden tutarli Oklid disi geometri bilinmektedir Albert Einstein in genel gorelilik teorisinin bir sonucu fiziksel uzayin kendisinin Oklidsel olmadigi ve Oklid uzayinin sadece kisa mesafelerde iyi bir yaklasim oldugudur yer cekimi alaninin gucune bagli olarak Oklid geometrisi noktalar ve cizgiler gibi geometrik nesnelerin temel ozelliklerini tanimlayan aksiyomlar uzerinden mantiksal olarak ilerlediginden bu nesnelerle ilgili onermeler icin tum bu nesneleri belirlemek uzere koordinatlar kullanilmayan sentetik geometrinin bir ornegidir Bu geometrik onermeleri cebirsel formullere cevirmek icin koordinatlari kullanan analitik geometrinin tersidir ElemanlarElemanlar daha onceki geometri bilgilerinin sistematiklestirilmesidir Daha onceki yaklasimlara gore gelismesi hizla fark edildi bunun sonucu olarak daha oncekilerin korunmasiyla ilgili cok az ilgi gosterildi ve simdiyse neredeyse hepsi kaybolmus durumdadir Oklid in Elemanlar inda 13 kitap vardir Kitaplar I V ve VI duzlem geometrisini tartisir Duzlem sekilleriyle ilgili bircok sonuc kanitlanmistir ornegin Herhangi bir ucgende herhangi bir sekilde birlikte alinan iki aci iki dik acidan daha kucuktur Kitap 1 Onerme 17 ve Pisagor teoremi Dik acili ucgenlerde dik aciyi olusturan kenarin karesi dik aciyi iceren kenarlarin karelerine esittir Kitap I Onerme 47 Kitap V ve VII X sayi teorisini geometrik olarak dogru parcalarinin uzunluklari veya bolgelerin alanlari olarak islem goren sayilarla ilgilenir Asal sayilar rasyonel ve irrasyonel sayilar gibi kavramlar tanitilir Sonsuz sayida asal sayi oldugu kanitlanmistir Kitap XI XIII ile ilgilidir Tipik bir sonuc bir koninin hacmi ile ayni yukseklik ve tabana sahip bir silindirin hacmi arasindaki 1 3 orandir Platonik katilar cizildi Aksiyomlar Paralellik postulati Postulat 5 Eger iki dogru bir taraftaki ic acilarin toplami iki dik acidan daha az olacak sekilde ucuncu bir dogru ile kesisiyorsa o zaman iki dogru kacinilmaz olarak eger yeteri kadar uzaga uzanirsa o tarafta birbiriyle kesismelidir Oklid geometrisi tum teoremlerin dogru ifadeler az sayida basit aksiyomdan turetildigi aksiyomatik bir sistemdir Oklid disi geometrinin ortaya cikmasina kadar bu aksiyomlarin fiziksel dunyada acikca dogru oldugu dusunuluyordu boylece tum teoremler de esit derecede dogru olacakti Bununla birlikte Oklid in varsayimlardan sonuclara kadar akil yurutmesi onlarin fiziksel gercekliginden bagimsiz olarak gecerliligini korur Elemanlar in ilk kitabinin baslangicina yakin bir yerde Oklid Thomas Heath tarafindan cevrildigi sekliyle cizimler acisindan belirtilen duzlem geometri icin bes onerme aksiyom verir Asagidakileri varsayalim Iki noktadan bir ve yalniz bir dogru gecer Bir dogru parcasi iki yone de sinirsiz bir sekilde uzatilabilir Merkezi ve uzerinde bir noktasi yaricapi verilen bir cember cizilebilir Butun dik acilar birbirine esittir Paralellik varsayimi Iki duz cizgi uzerine dusen bir dogru ayni taraftaki ic acilari iki dik acidan daha az yapiyorsa iki duz cizgi eger sonsuza kadar uzatilirsa acilarin iki dik acidan daha az oldugu tarafta kesisir Bir dogruya disinda alinan bir noktadan bir ve yalniz bir paralel cizilebilir Oklid cizilmis nesnelerin varligini yalnizca acik bir sekilde iddia etse de muhakemesinde dolayli olarak benzersiz olduklari varsayilir Elemanlar ayrica asagidaki bes ortak kavrami icerir Bir seye esit olan iki sey birbirine esittir Oklid bagintisinin gecis ozelligi Esit olan ogelere esit miktarlar eklenirse bu ogeler yine esit olur Esitligin toplama ozelligi Esit olan ogelerden esit miktarlar cikarilirsa bu ogeler yine esit olur Esitligin cikarma ozelligi Birbirleriyle cakisan seyler birbirine esittir Yansima ozelligi Butun parcadan daha buyuktur Modern bilim adamlari Oklid in onermelerinin Oklid in sunumu icin ihtiyac duydugu tam mantiksal temeli saglamadigi konusunda hemfikirdir Modern yaklasimlar daha kapsamli ve eksiksiz aksiyom setleri kullanir Paralellik postulati Antik donemdekilere gore paralellik postulati digerlerinden daha az acik gorunuyordu Kesinlikle belirli onermelerden olusan bir sistem yaratmayi amacladilar ve onlara gore paralel dogru postulati daha basit ifadelerle kanit gerektiriyormus gibi gorunuyordu Paralellik postulatinin dogru oldugu ve digerlerinin yanlis oldugu tutarli geometri sistemleri diger aksiyomlara sadik kalarak kurulabildiginden boyle bir ispatin imkansiz oldugu artik bilinmektedir Elemanlar in organizasyonunun da gosterdigi gibi Oklid in kendisi de onu digerlerinden niteliksel olarak farkli olarak degerlendirmis gorunuyor Ilk 28 onermesi onsuz ispatlanabilecek olanlardir Paralellik postulatina mantiksal olarak denk olan bircok alternatif aksiyom formule edilebilir diger aksiyomlar baglaminda Ornegin soyle der Bir duzlemde belirli bir dogru uzerinde olmayan bir noktadan verilen dogruyu asla kesmeyen en fazla bir dogru cizilebilir Geriye kalan aksiyomlardan en az bir paralel dogrunun var oldugu kanitlanabildiginden gereken tek sey en fazla kosuludur Bir dogru parcasi verildiginde parcayi kenarlarindan biri olarak iceren bir eskenar ucgen olusturabilecegine dair Oklid in Elemanlar indan bir kanit bir eskenar ucgen ABG A ve E noktalari uzerinde ortalanmis daireler cizerek yapilir ve ucgenin ucuncu kosesi olarak dairelerin bir kesisimi alinir Ispat yontemleriOklid Geometrisi yapicidir 1 2 3 ve 5 nolu postulatlar belirli geometrik sekillerin varligini ve benzersizligini ileri surer ve bu iddialar yapici niteliktedir yani bize yalnizca belirli seylerin var oldugu soylenmez ayni zamanda bir pusula ve isaretsiz bir cetvelden fazlasi ile olmasa da bunlari olusturmak icin yontemler de verilir Bu anlamda Oklid geometrisi cogu kez nesnelerin nasil cizilecegini soylemeden varligini iddia eden ve hatta teori icinde cizilemeyen nesnelerin varligini iddia eden kume teorisi gibi bircok modern aksiyomatik sistemden daha somuttur Acikca soylemek gerekirse kagit uzerindeki dogrular bu nesnelerin orneklerinden ziyade bicimsel sistem icinde tanimlanan nesnelerin modelleridir Ornegin bir Oklid dogrusunun genisligi yoktur ancak herhangi bir gercek cizilmis dogrunun genisligi olacaktir Neredeyse tum modern matematikciler yapici olmayan yontemleri yapici yontemler kadar saglam kabul etseler de Oklid in yapici kanitlari cogu zaman yanlis yapici olmayanlarin yerini aldi ornegin Pisagorcularin irrasyonel sayilari iceren bazi kanitlarinin genellikle nin en buyuk ortak olcusunu bulun gibi Oklid siklikla kullandi Oklid geometrisi bir seklin uzayda baska bir noktaya aktarildigi ust uste binme superpozisyon yontemine de izin verir Ornegin ucgenlerin kenar aci kenar benzerligi olan Onerme I 4 iki ucgenden birini kenarlarindan biri diger ucgenin esit kenari ile cakisacak sekilde hareket ettirerek ve ardindan diger kenarlarin da cakistigini kanitlayarak kanitlar Bazi modern yaklasimlar ust uste binmeye alternatif olarak kullanilabilen ucgenin degismezligi olan altinci bir varsayim ekler Olcum sistemi ve aritmetikOklid geometrisinin iki temel olcum turu vardir aci ve mesafe Aci olcegi mutlaktir ve Oklid temel birimi olarak dik aciyi kullanir boylece ornegin 45 derecelik bir aci bir dik acinin yarisi olarak anilacaktir Mesafe olcegi gorecelidir birim olarak sifir olmayan belirli bir uzunluga sahip bir dogru parcasini rastgele secer ve diger mesafeler bununla iliskili olarak ifade edilir Mesafelerin eklenmesi bir dogru parcasinin uzunlugunu uzatmak icin baska bir dogru parcasinin sonuna kopyalandigi ve benzer sekilde cikarma icin tersi islem yapilan bir yapi ile temsil edilir Alan ve hacim olcumleri mesafelerden elde edilir Ornegin genisligi 3 ve uzunlugu 4 olan bir dikdortgen carpimi yani 12 yi temsil eden bir alana sahiptir Carpmanin bu geometrik yorumu uc boyutla sinirli oldugundan dort veya daha fazla sayinin carpimini yorumlamanin dogrudan bir yolu yoktu ve Oklid ornegin IX Kitap Onerme 20 nin ispatinda ima edilmesine ragmen bu tur carpimlardan kacindi Bir denklik ornegi Soldaki iki sekil denktir ucuncusu ise onlara benzerdir Son sekil denk veya benzer degildir Denklikler konum ve yon gibi bazi ozellikleri degistirir ancak mesafe ve acilar gibi digerlerini degistirmeden birakir Ikinci tur ozelliklere degismezler denir ve bunlari incelemek geometrinin ozudur Oklid bir cift dogrunun veya bir cift duzlemin veya kati seklin sirasiyla uzunluklari alanlari veya hacimleri esitse esit Grekce ἴsos olarak isaret eder ve acilar icin de benzer sekilde Daha guclu olan eslenik denk terimi tum bir seklin baska bir sekil ile ayni boyut ve sekilde oldugu fikrine atifta bulunur Alternatif olarak biri digerinin uzerine hareket ettirilebiliyorsa iki sekil denktir boylece tam olarak eslesir Dondurmeye izin verilir Bu nedenle ornegin 2x6 dikdortgen ve 3x4 dikdortgen esittir ancak denk degildir ve R harfi onun ayna goruntusuyle denktir Farkli boyutlari haricinde eslenik olacak sekiller benzer olarak adlandirilir Bir cift benzer sekilde karsilik gelen acilar estir ve karsilik gelen kenarlar birbiriyle orantilidir Notasyon ve terminolojiNoktalarin ve sekillerin isimlendirilmesi Noktalar geleneksel olarak alfabenin buyuk harfleri kullanilarak adlandirilir Dogrular ucgenler veya daireler gibi diger sekiller ilgili seklin net bir bicimde secilebilmesi icin yeterli sayida nokta listelenerek adlandirilir ornegin ABC ucgeni tipik olarak A B ve C noktalarinda koseleri olan bir ucgen olacaktir Butunler ve tumler acilar Toplami dik aci olan acilara tumler denir Bir isin ayni tepe noktasini paylastiginda ve dik aciyi olusturan iki orijinal isin arasindaki bir yone isaret edildiginde tumler acilar olusur Iki orijinal isin arasindaki isinlarin sayisi sonsuzdur Toplami duz bir aci olan acilar butunlerdir Bir isin ayni tepe noktasini paylastiginda ve duz aciyi 180 derecelik aci olusturan iki orijinal isin arasindaki bir yone isaret edildiginde butunler acilar olusur Iki orijinal isin arasindaki isinlarin sayisi sonsuzdur Oklid gosteriminin modern versiyonlari Modern terminolojide acilar normalde derece veya radyan cinsinden olculur Modern okul ders kitaplari genellikle dogrular sonsuz isinlar yari sonsuz ve dogru parcalari sonlu uzunlukta olarak adlandirilan ayri sekiller tanimlar Oklid bir isini tek yonde sonsuzluga uzanan bir nesne olarak tanimlamak yerine zaman zaman sonsuz dogrulardan soz etmesine ragmen normalde dogru yeterli bir uzunluga uzatilirsa gibi konumlandirmalari kullanir Oklid deki bir dogru ya duz ya da kavisli olabilir ve gerektiginde daha spesifik olan duz dogru terimini kullandi Bazi onemli veya iyi bilinen sonuclarPons asinorum veya esekler koprusu teoremi bir ikizkenar ucgende a b displaystyle alpha beta ve g d displaystyle gamma delta dir Ucgen aci toplam teoremi herhangi bir ucgenin uc acisinin toplaminin bu durumda a b displaystyle alpha beta ve g displaystyle gamma acilarinin her zaman 180 dereceye esit olacagini belirtir Pisagor teoremi bir dik ucgenin bacaklari a ve b uzerindeki iki karenin alanlarinin toplaminin hipotenus c uzerindeki karenin alanina esit oldugunu belirtir Thales teoremi AC bir capsa B deki acinin dik aci oldugunu belirtir Pons Asinorum Pons asinorum esek koprusu ikizkenar ucgenlerde tabandaki acilarin birbirine esit oldugunu ve esit duz dogrular daha fazla uzatilirsa tabanin altindaki acilarin birbirine esit oldugunu belirtir Adi okuyucunun zekasinin Elemanlar daki ilk gercek sinav olarak sik sik rol oynamasina ve ardindan gelen daha zor onermelere bir kopru olarak atfedilebilir Ayrica geometrik seklin dik bir kopruye benzemesi nedeniyle sadece saglam ayakli bir esegin gecebilecegi biciminde adlandirilmis olabilir Ucgenlerin denkligi Ucgenlerin denkligi iki kenar ve aralarindaki aci KAK iki aci ve aralarindaki kenar AKA veya iki aci ve karsilik gelen bitisik kenar AAK belirtilerek belirlenir Bununla birlikte iki kenar ve bitisik bir aci KKA belirtmek belirtilen aci bir dik aci olmadigi surece iki farkli olasi ucgen olusturabilir Uc kenari da esitse KKK iki kenari ve aralarindaki aci esitse KAK veya iki aci ve bir kenari esitse AKA Kitap I Onermeler 4 8 ve 26 ucgenler denktir Uc esit acili AAA ucgenler benzerdir ancak mutlaka denk degildir Ayrica iki esit kenarli ve bitisik bir aciya sahip ucgenler mutlaka esit veya denk degildir Ucgenin acilari toplami Bir ucgenin acilarinin toplami duz bir aciya 180 derece esittir Bu bir eskenar ucgenin 60 derecelik uc ic aciya sahip olmasina neden olur Ayrica her ucgenin en az iki dar aciya ve bir genis aciya veya dik aciya sahip olmasina neden olur Pisagor teoremi Unlu Pisagor teoremi Kitap I Onerme 47 herhangi bir dik ucgende kenari hipotenus olan karenin alaninin dik acinin karsisindaki kenar kenarlari iki bacak dik aciyla birlesen iki kenar olan karelerin alanlarinin toplamina esit oldugunu belirtir Thales teoremi Miletli Thales in adini tasiyan Thales teoremi A B ve C AC dogrusunun dairenin capi oldugu bir daire uzerindeki noktalarsa ABC acisinin dik aci oldugunu belirtir Cantor Thales in teoremi Oklid Kitap I Onerme 32 ile Oklid Kitap III Onerme 31 in tarzindan sonra kanitladigini varsaydi Alan ve hacmin olceklendirilmesi Modern terminolojide bir duzlem seklin alani dogrusal boyutlarindan herhangi birinin karesiyle orantilidir A L2 displaystyle A propto L 2 ve bir katinin hacmi kupuyle V L3 displaystyle V propto L 3 Oklid bu sonuclari bir daire alani ve paralel yuzlu bir katinin hacmi gibi cesitli ozel durumlarda kanitladi Oklid orantililigin ilgili sabitlerinin hepsini degil bazilarini belirledi Ornegin bir kurenin hacminin kendisini cevreleyen silindirin hacminin 2 3 u oldugunu kanitlayan onun halefi Arsimet ti UygulamalarOklid geometrisinin matematikteki temel statusu nedeniyle burada uygulamalarin temsili bir orneklemesinden fazlasini vermek pratik degildir Bir yerolcumcu bir kullanir bir yigin portakal icin gecerlidir Parabolik bir ayna paralel gelen isik isinlarini bir odakta toplar Kelimenin etimolojisinde onerildigi gibi geometriye ilgi duymanin en eski nedenlerinden biri olcme idi ve resmen kanitlanmadan cok once Oklid geometrisinden 3 4 5 ucgeninin dik aci ozelligi gibi bazi pratik sonuclar kullanildi Oklid geometrisindeki temel olcum turleri her ikisi de dogrudan bir arastirmaci tarafindan olculebilen mesafeler ve acilardir Tarihsel olarak mesafeler genellikle Gunter zinciri gibi zincirlerle ve dereceli dairelerle ve daha sonra teodolit kullanilarak acilar ile olculurdu Oklid uzay geometrisinin bir uygulamasi n boyutlu kurelerin en verimli sekilde sikistirilmasini bulma problemi gibi sikistirma duzenlemelerinin belirlenmesidir Bu problemin hata tespiti ve duzeltilmesinde uygulamalari vardir Geometrik optik isigin mercekler ve aynalarla odaklanmasini analiz etmek icin Oklid geometrisini kullanir Geometri sanatta ve mimaride kullanilir Su kulesi bir koni bir silindir ve bir yarim kureden olusur Hacmi uzay geometri kullanilarak hesaplanabilir Geometri origami tasarlamak icin kullanilabilir Geometri mimaride yaygin olarak kullanilmaktadir Geometri origami tasarlamak icin kullanilabilir Geometrinin bazi klasik yapim problemlerini yalnizca pergel ve cizgilik yani es olceksiz sadece dogru cizmeye yarayan bir cetvel kullanilarak gerceklemek imkansizdir ancak origami kullanilarak cozulebilir Oldukca fazla sayida CAD bilgisayar destekli tasarim ve Oklid geometrisine dayanmaktadir Tasarim geometrisi tipik olarak duzlemler silindirler koniler toruslar vb ile sinirlanmis sekillerden olusur Gunumuzde CAD CAM arabalar ucaklar gemiler ve akilli telefonlar dahil olmak uzere hemen hemen her seyin tasariminda cok onemlidir Birkac on yil once sofistike ressamlar ve Brianchon teoremi gibi seyler de dahil olmak uzere oldukca gelismis bazi Oklid geometrisini ogrendiler Ama artik buna gerek yok cunku geometrik yapilarin tamami CAD programlari tarafindan tasarlaniyor 3 boyutlu elektrik motoruUzayin yapisinin bir aciklamasi olarakOklid aksiyomlarinin fiziksel gerceklikle ilgili apacik ifadeler olduguna inaniyordu Oklid in ispatlari belki de Oklid in temel aksiyomlarinda acik olmayan varsayimlara baglidir ozellikle sekillerin belirli hareketlerinin sekillerin otelenmesini yansimalarini ve donuslerini iceren sozde Oklid hareketleri kenarlarin uzunluklari ve ic acilar gibi geometrik ozelliklerini degistirmez Uzayin fiziksel bir aciklamasi olarak ele alindiginda postulat 2 bir dogruyu uzatan uzayin deliklere veya sinirlara sahip olmadigini baska bir deyisle uzay homojen ve sinirsizdir postulat 4 dik acilarin esitligi uzayin izotropik oldugunu ve sekillerin denklik korunurken herhangi bir yere tasinabilecegini soyler ve postulat 5 paralellik postulati uzayin duz oldugunu icsel egriligi olmadigini var sayar Asagida daha ayrintili olarak tartisildigi gibi Albert Einstein in gorelilik teorisi bu gorusu onemli olcude degistirir Orijinal olarak Oklid tarafindan formule edilen aksiyomlarin muglak karakteri farkli yorumcularin uzayin yapisina iliskin diger sonuclarindan bazilari ornegin sonsuz olup olmadigi asagiya bakiniz ve topolojisinin ne oldugu konusunda anlasamamalarina olanak saglar Sistemin modern daha siki yeniden formulasyonlari tipik olarak bu sorunlarin daha temiz bir sekilde bertaraf edilmesini amaclamaktadir Oklid aksiyomlarini bu daha modern yaklasimin ruhunda yorumlayarak 1 4 aksiyomlar ya sonsuz ya da sonlu uzay ile tutarlidir eliptik geometride oldugu gibi ve bes aksiyomun tumu cesitli topolojilerle ornegin bir duzlem bir silindir veya iki boyutlu Oklid geometrisi icin bir simit tutarlidir Sonraki calismalarArsimet ve Apollonius Bir kure cevreleyen silindirin 2 3 luk hacmine ve yuzey alanina sahiptir Arsimet in mezari uzerine istegi uzerine bir kure ve silindir yerlestirildi Hakkinda pek cok tarihsel anekdotun kaydedildigi renkli bir sahsiyet olan Arsimet MO 287 MO 212 Oklid ile birlikte en buyuk antik matematikcilerden biri olarak hatirlanir Calismalarinin temelleri Oklid tarafindan atilmis olsa da Oklid in aksine calismalarinin tamamen orijinal olduguna inaniliyor Iki ve uc boyutlu cesitli sekillerin hacimleri ve alanlari icin denklemleri ispatladi ve sonlu sayilarin Arsimet ozelligini acikladi Perge li Apollonius MO 262 MO 190 dolaylari esas olarak konik kesitleri arastirmasiyla taninir Rene Descartes Frans Hals dan sonraki portre 1648 17 yuzyil Descartes Rene Descartes 1596 1650 geometriyi cebire donusturmeye odaklanan ve geometriyi bicimlendirmek icin alternatif bir yontem olan analitik geometriyi gelistirdi Bu yaklasimda bir duzlemdeki bir nokta Kartezyen x y koordinatlariyla temsil edilir bir dogru denklemiyle temsil edilir ve bu boyle devam eder Oklid in orijinal yaklasiminda Pisagor teoremi Oklid in aksiyomlarini izler Kartezyen yaklasimda aksiyomlar cebrin aksiyomlaridir ve Pisagor teoremini ifade eden denklem simdi teorem olarak kabul edilen Oklid aksiyomlarindaki terimlerden birinin tanimidir Iki nokta P px py ve Q qx qy arasindaki mesafeyi tanimlayan asagidaki denklem PQ px qx 2 py qy 2 displaystyle PQ sqrt p x q x 2 p y q y 2 dd Oklid metrigi olarak bilinir ve diger olcutler Oklid disi geometrileri tanimlar Analitik geometri acisindan klasik geometrinin pergel ve duz kenarli cetvelle cizim sinirlandirilmasi birinci ve ikinci dereceden denklemlerde bir sinirlama anlamina gelir ornegin y 2x 1 bir dogru veya x2 y2 7 bir cember Ayni zamanda 17 yuzyilda perspektif teorisinin motive ettigi Girard Desargues sonsuzda idealize edilmis noktalar dogrular ve duzlemler kavramini tanitti Sonuc bir tur genellestirilmis geometri projektif geometri olarak dusunulebilir ancak ayni zamanda ozel durumlarin sayisinin azaltildigi siradan Oklid geometrisinde ispat uretmek icin de kullanilabilir Daireyi kareyle cevreleme Bu kare ve bu cemberin alanlari esittir 1882 de bu seklin ideallestirilmis bir pergel ve cetvel ile sinirli sayida adimda cizilemeyecegi kanitlandi 18 yuzyil 18 yuzyilin geometricileri Oklid sisteminin sinirlarini belirlemek icin mucadele etti Bircogu ilk dordunden besinci varsayimi ispatlamak icin bosuna ugrasti 1763 e gelindiginde en az 28 farkli kanit yayinlandi ancak tumu yanlis bulundu Bu doneme kadar geometriciler ayrica Oklid geometrisinde hangi cizimlerin basarilabilecegini belirlemeye calistilar Ornegin pergel ve cetvel ile verilen bir problemi teoride dogal olarak ortaya cikan bir problemdir cunku aksiyomlar bu araclarla gerceklestirilebilecek yapici islemlere atifta bulunur Ancak 1837 de boyle bir cizimin imkansiz olduguna dair bir kanit yayinlayana kadar yuzyillar suren cabalar bu probleme bir cozum bulamadi Imkansiz oldugu kanitlanan diger cizimler arasinda Kupu iki katina cikarma Delos Problemi ve Daireyi kareyle cevreleme yer aliyor Kupun hacminin ikiye katlanmasi durumunda cizimin imkansizligi pergel ve cetvel yonteminin siralamasi ikinin integral kuvveti olan denklemleri icermesinden kaynaklanir bir kupun hacmini iki katina cikarmak ucuncu dereceden bir denklemin cozumunu gerektirir Euler ucuncu ve dorduncu postulatlari aci dik ucgenler anlamsiz hale gelir ve genel olarak dogru parcalarinin uzunluklarinin esitligi cemberler anlamsiz hale gelir kavramlarini ortadan kaldiracak sekilde zayiflatarak paralellik kavramlarini cizgiler arasinda bir esdegerlik iliskisi ve paralel dogru parcalarinin uzunluklarinin esitligi olarak korurken boylece dogru parcalarinin bir orta noktasi vardir besinci postulati degistirilmemis olarak tutarak Oklid geometrisinin adi verilen bir genellemesini tartisti 19 yuzyil ve Oklid disi geometri Iki boyutta eliptik Oklid ve Hiperbolik geometrilerin karsilastirilmasi 19 yuzyilin baslarinda ve Mobius sonuclari basitlestirme ve birlestirmenin bir yolu olarak isaretli acilarin ve cizgi parcalarinin kullanimini sistematik olarak gelistirdi Yuzyilin geometrideki en onemli gelisimi 1830 larda Janos Bolyai ve Nikolai Ivanovich Lobachevsky paralellik postulatin gecerli olmadigi Oklid disi geometri uzerine ayri ayri yayinladiklari zaman meydana geldi Oklid disi geometri Oklid geometrisiyle kanitlanabilir sekilde nispeten tutarli oldugundan paralellik postulati diger postulalardan kanitlanamaz 19 yuzyilda Oklid in on aksiyomunun ve genel mefhumlarinin Elemanlar da belirtilen tum teoremleri ispatlamak icin yeterli olmadigi da anlasildi Ornegin Oklid ortuk olarak herhangi bir dogrunun en az iki nokta icerdigini varsaydi ancak bu varsayim diger aksiyomlardan kanitlanamaz ve bu nedenle de bir aksiyom olmasi gerekir Yukaridaki sekilde gosterilen Elemanlar daki ilk geometrik kanit herhangi bir dogru parcasinin bir ucgenin parcasi oldugudur Oklid her iki uc noktanin etrafina daireler cizerek ve bunlarin kesisimini ucuncu kose olarak alarak bunu her zamanki gibi cizer Bununla birlikte aksiyomlari cemberlerin gercekte kesistigini garanti etmez cunku Kartezyen terimlerle gercek sayilarin tamlik ozelligine esdeger olan surekliligin geometrik ozelligini iddia etmezler 1882 de ile baslayarak en iyi bilinenleri Hilbert Birkhoff ve Tarski ninki olmak uzere geometri icin bircok gelismis aksiyomatik sistem onerilmistir 20 yuzyil ve gorelilik Oklid geometrisinin fiziksel uzayin bir tanimi olarak bir curutulmesi Genel gorelilik teorisinin 1919 daki bir testinde yildizlarin kisa yatay cizgilerle isaretlenmis bir gunes tutulmasi sirasinda fotograflari cekildi Yildiz isiginin isinlari dunyaya giderken Gunes in yercekimi tarafindan bukuldu Bu Einstein in yer cekiminin Oklid geometrisinden sapmalara neden olacagi ongorusunun lehine bir kanit olarak yorumlaniyor Einstein in ozel gorelilik teorisi dort boyutlu bir uzay zamani Oklidyen olmayan Minkowski uzayini icerir Bu paralellik postulatinin kanitlanamayacagini gostermek icin gorelilik kuramindan birkac yil once ortaya atilan Oklid disi geometrilerin fiziksel dunyayi tanimlamak icin de yararli oldugunu gostermektedir Bununla birlikte Minkowski uzayinin uc boyutlu uzay kismi Oklid geometrisinin uzayi olarak kalir Uzay zamanin uzay bolumunun geometrisinin Oklid geometrisi olmadigi genel gorelilik durumu boyle degildir Ornegin uc isik isinindan bir ucgen olusturulmussa o zaman genel olarak ic acilarin toplami yer cekimi nedeniyle 180 dereceyi bulmaz Dunya nin veya Gunes inki gibi nispeten zayif bir yer cekimi alani yaklasik olarak ancak tam olarak degil Oklid olan bir olcu ile temsil edilir 20 yuzyila kadar Oklid geometrisinden sapmalarini tespit edebilecek bir teknoloji yoktu ancak Einstein bu tur sapmalarin var olacagini ongordu Daha sonra 1919 da bir gunes tutulmasi sirasinda Gunes in yildiz isiginin hafif bukulmesi gibi gozlemlerle dogrulandilar ve bu tur dusunceler artik GPS sistemini calistiran yazilimin ayrilmaz bir parcasi Sonsuzluk yaklasimiSonsuz nesneler Oklid bazen sonlu dogrular ornegin Postulat 2 ve sonsuz dogrular Kitap I Onerme 12 arasinda acikca ayrim yapar Ancak gerekli olmadikca tipik olarak bu tur ayrimlar yapmazdi Postulatlar acik bir sekilde sonsuz dogrulara atifta bulunmazlar ancak ornegin bazi yorumcular herhangi bir yaricapa sahip bir dairenin varligini postulat 3 u uzayin sonsuz oldugunu ima ettigi seklinde yorumlarlar Sonsuz kucuk nicelikler kavrami daha once Elea Okulu Eleatic School tarafindan kapsamli bir sekilde tartisilmisti ancak hic kimse onlari kesin bir mantiksal temele oturtamamisti Zeno nun paradoksu gibi evrensel tatmin icin cozulmemis paradokslar ortaya cikti Oklid sonsuz kucukler yerine tukenme yontemini kullandi Proclus MO 410 485 gibi daha sonraki antik yorumcular sonsuzluk hakkindaki bircok soruyu ispat gerektiren konular olarak ele aldilar ve ornegin Proclus vakalari ele aldigi celiski yoluyla kanita dayanarak onu olusturan cift ve tek sayilarin durumlarini degerlendirerek bir dogrunun sonsuz bolunebilirligini kanitladigini iddia etti 20 yuzyilin basinda ve digerleri Newton Leibniz algisinda iki nokta arasindaki mesafenin sonsuz veya sonsuz kucuk olabilecegi Oklid geometrisinin Arsimet ozelligi olmayan modelleri uzerinde tartismali calismalar urettiler Elli yil sonra Abraham Robinson nin calismalari icin saglam bir mantiksal temel sagladi Sonsuz surecler Kadimlerin paralellik postulatini digerlerinden daha az kesin olarak ele almalarinin bir nedeni cok uzak bir noktada bile asla kesismediklerini kontrol etmek icin fiziksel olarak dogrulamanin iki dogruyu incelememizi gerektirmesidir ve bu inceleme potansiyel olarak sonsuz bir zaman alabilir Tumevarim yoluyla ispatin modern formulasyonu 17 yuzyila kadar gelistirilmemistir ancak daha sonraki bazi yorumcular bunun Oklid in bazi ispatlarinda ortuk olarak bulundugunu ornegin asallarin sonsuzlugunun kanitinda oldugunu dusunurler Zeno nun paradoksu gibi sonsuz dizileri iceren varsayimsal paradokslar Oklid den onceydi Oklid bu tur tartismalardan kacindi ornegin Kitap IX Onerme 35 teki geometrik serinin kismi toplamlarinin ifadesini terimlerin sayisinin sonsuz olmasina izin verme olasiligi uzerine yorum yapmadan verdi Mantiksal temelKlasik mantik Oklid sik sik celiski ile ispat yontemini kullandi ve bu nedenle Oklid geometrisinin geleneksel sunumu her onermenin dogru ya da yanlis oldugu klasik mantigi varsayar yani herhangi bir P onermesi icin P ya da P degil onermesi otomatik olarak dogrudur Modern kesinlik standartlari Matematikciler yuzyillardir Oklid geometrisini saglam bir aksiyomatik temele oturtmak ile mesguldu Ilkel kavramlarin veya tanimlanmamis kavramlarin rolu Peano delegasyonundan Alessandro Padoa tarafindan 1900 Paris konferansinda acikca ortaya konmustu teoriyi formule etmeye basladigimizda tanimlanmamis sembollerin tamamen anlamdan yoksun oldugunu ve kanitlanmamis onermelerin basitce tanimlanmamis sembollere dayatilan kosullar oldugunu hayal edebiliriz O halde baslangicta sectigimiz fikirler sistemi basitce tanimlanmamis sembollerin bir yorumudur ama bu yorum zihninde onu kosullari karsilayan baska bir yorum ile degistirmekte ozgur olan okuyucu tarafindan goz ardi edilebilir Boylece mantiksal sorular ampirik veya psikolojik sorulardan tamamen bagimsiz hale gelir Tanimlanmamis semboller sistemi bu durumda ozellesmis teorilerden elde edilen soyutlama olarak kabul edilebilir tanimlanmamis semboller sistemi ardisik olarak yorumlarin her biri ile degistirilir Essai d une theorie algebrique des nombre entiers avec une Introduction logique a une theorie deductive quelconque Yani matematik hiyerarsik bir cerceve icindeki baglamdan bagimsiz bilgidir Bertrand Russell in soyledigi gibi Hipotezimiz herhangi bir sey hakkindaysa ve belirli bir veya daha fazla seyle ilgili degilse cikarimlarimiz matematigi olusturur Dolayisiyla matematik ne hakkinda konustugumuzu asla bilmedigimiz bir konu veya soyledigimizin dogru olup olmadigi olarak tanimlanabilir Bertrand Russell Mathematics and the metaphysicians Bu tur temel yaklasimlar temelcilik ve bicimcilik arasinda degisir Aksiyomatik formulasyonlar Geometri yanlis rakamlar uzerinde dogru akil yurutme bilimidir George Polya How to Solve It s 208 Cambridge deki Trinity College da yazdigi tezinde Bertrand Russell o zamana kadar filozoflarin zihninde Oklid in geometrisinin degisen rolunu ozetledi Deneysel girdi gerektiren deneyden bagimsiz belirli bilgi ile deneycilik arasinda bir catismaydi Paralellik postulatinin zorunlu olarak gecerli olmadigi ve uygulanabilirliginin deneysel bir mesele oldugu kesfedildiginden bu sorun netlesti ve uygulanabilir geometrinin Oklidsel mi yoksa Oklid disi mi olduguna karar verdi Hilbert in aksiyomlari en onemli geometrik teoremlerin cikarilabilecegi basit ve eksiksiz bir bagimsiz aksiyomlar kumesini tanimlama amacina sahipti Goze carpan hedefler Oklid geometrisini gizli varsayimlardan kacinarak kesin hale getirmek ve paralellik postulatinin sonuclarini acikliga kavusturmakti Birkhoff Oklid geometrisi icin olcek ve aciolcer ile deneysel olarak dogrulanabilen dort varsayim onerdi Bu sistem buyuk olcude gercek sayilarin ozelliklerine dayanir Aci ve mesafe kavramlari ilkel kavramlar haline gelir Alfred Tarski 1902 1983 ve ogrencileri Hilbert in aksiyomlarinin aksine birinci dereceden mantikla ifade edilebilen ve mantiksal temeli icin kume teorisine bagli olmayan geometri olarak temel Oklid geometrisini tanimladilar nokta kumelerini iceren Tarski temel Oklid geometrisinin aksiyomatik formulasyonunun belirli bir anlamda tutarli ve eksiksiz oldugunu kanitladi Her onerme icin dogru veya yanlis gosterilebilecek bir algoritma var Bu Godel in teoremini ihlal etmez cunku Oklid geometrisi teoremin uygulanmasi icin yeterli miktarda aritmetigi tanimlayamaz Bu temel Oklid geometrisinin bir model oldugu gercek kapali cisimlerin karar verilebilirligine esdegerdir Ayrica bakinizAnalitik Geometri Kartezyen koordinat sistemi Metrik uzay Oklid disi geometri Paralellik postulatiKlasik teoremler Aciortay teoremi Kelebek teoremi Ceva teoremi Heron formulu Menelaus teoremi Dokuz nokta cemberi Pisagor teoremiNotlar a b Eves 1963 s 19 Eves 1963 s 10 Misner Thorne amp Wheeler 1973 s 47 Oklid varsayimlari Harold E Wolfe 2007 Introduction to Non Euclidean Geometry Mill Press s 9 ISBN 1 4067 1852 1 21 Agustos 2020 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 4 Kasim 2020 de modern bir perspektiften tartisilmaktadir tr Heath ss 195 202 Venema Gerard A 2006 Foundations of Geometry Prentice Hall s 8 ISBN 978 0 13 143700 5 Florence P Lewis Jan 1920 History of the Parallel Postulate The American Mathematical Monthly The American Mathematical Monthly Vol 27 No 1 27 1 ss 16 23 doi 10 2307 2973238 JSTOR 2973238 Ball s 56 Oklid in varsayimlari icinde kalarak ucgenler ve kareler icin bir formul vermek oldukca kolaydir Bununla birlikte kume teorisi gibi daha genel bir baglamda ornegin bir karenin alaninin parcalarinin alanlarinin toplami oldugunu kanitlamak o kadar kolay degildir Bkz ve Daniel Shanks 2002 Solved and Unsolved Problems in Number Theory American Mathematical Society Coxeter s 5 Euclid book I proposition 5 tr Heath s 251 Kitap I Onerme 5 in iddia edilen zorlugunu goz ardi ederek Sir Thomas L Heath baska bir yorumdan bahsediyor Bu seklin alt duz dogrularinin bir esek tarafindan gecilebilen ancak bir atla gecilemeyen dik egimli bir kopruye benzemesine dayanmaktadir Ama son zamanlarda ogrendigim gibi esek icin daha tamamlayici olan baska bir gorus var Onerinin seklin bir sehpa koprusu gibi olmasi her iki ucunda bir rampa olmasi daha pratiktir sekil ne kadar duz cizilirse kopru oyle ki bir at rampayi asamazken esek asabilirdi baska bir deyisle terim herhangi bir istihbarat isteginden ziyade ayaklarin saglamligina atifta bulunur Excursis II volume 1 of Heath s translation of The Thirteen Books of the Elements Euclid book I proposition 32 Heath s 135 Extract of page 135 18 Kasim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde Heath s 318 Euclid book XII proposition 2 Euclid book XI proposition 33 Ball s 66 Ball s 5 Eves vol 1 s 5 Mlodinow s 7 Origami and Geometric Constructions 18 Haziran 2019 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 4 Kasim 2020 Euclid s axioms The Non Euclidean Revolution Birkhauser 2008 ss 39 ff ISBN 0 8176 4782 1 25 Subat 2021 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 4 Kasim 2020 See for example Shape analysis and classification theory and practice CRC Press 2001 s 314 ISBN 0 8493 3493 4 10 Temmuz 2014 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 4 Kasim 2020 and Computational Line Geometry Springer 2010 s 60 ISBN 3 642 04017 9 9 Temmuz 2014 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 4 Kasim 2020 The group of motions underlie the metric notions of geometry See Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint Geometry Reprint of 1939 Macmillan Company Courier Dover 2004 s 167 ISBN 0 486 43481 8 10 Temmuz 2014 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 4 Kasim 2020 The Road to Reality A Complete Guide to the Laws of the Universe Vintage Books 2007 s 29 ISBN 0 679 77631 1 10 Temmuz 2014 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 4 Kasim 2020 a b Heath s 200 e g Tarski 1951 Eves s 27 Ball pp 268ff Eves 1963 Hofstadter 1979 s 91 Theorem 120 Elements of Abstract Algebra Allan Clark Dover 0 486 64725 0 Eves 1963 s 64 Ball s 485 1997 1958 Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics Dover Birkhoff G D 1932 A Set of Postulates for Plane Geometry Based on Scale and Protractors Annals of Mathematics 33 a b Tarski 1951 Misner Thorne and Wheeler 1973 s 191 Ball s 31 Heath s 268 Giuseppe Veronese On Non Archimedean Geometry 1908 English translation in Real Numbers Generalizations of the Reals and Theories of Continua ed Philip Ehrlich Kluwer 1994 Robinson Abraham 1966 Non standard analysis Paralellik postulati digerlerinden daha az acik olarak dusunen kadim insanlarin tarihsel nedeninin bu oldugu iddiasi icin bkz Nagel ve Newman 1958 s 9 Cajori 1918 s 197 a b A detailed discussion can be found in James T Smith 2000 Chapter 2 Foundations Methods of geometry Wiley ss 19 ff ISBN 0 471 25183 6 2 Kasim 2020 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 4 Kasim 2020 Societe francaise de philosophie 1900 Revue de metaphysique et de morale Volume 8 Hachette s 592 10 Temmuz 2014 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 4 Kasim 2020 Mathematics and the metaphysicians The world of mathematics Reprint of Simon and Schuster 1956 3 Courier Dover Publications 2000 s 1577 ISBN 0 486 41151 6 10 Temmuz 2014 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 4 Kasim 2020 Introduction An essay on the foundations of geometry Cambridge University Press 1897 17 Aralik 2019 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 4 Kasim 2020 Chapter 2 The five fundamental principles Basic Geometry 3rd AMS Bookstore 1999 ss 38 ff ISBN 0 8218 2101 6 9 Temmuz 2014 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 4 Kasim 2020 Chapter 3 Elementary Euclidean Geometry Cited work ss 84 ff 17 Aralik 2019 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 4 Kasim 2020 Elementary geometry from an advanced standpoint 3rd Addison Wesley 1990 ISBN 0 201 50867 2 9 Aralik 2014 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 4 Kasim 2020 1 4 Hilbert and Birkhoff Geometry ancient and modern Oxford University Press 2001 ISBN 0 19 850825 5 21 Temmuz 2011 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 4 Kasim 2020 What is elementary geometry Studies in Logic and the Foundations of Mathematics The Axiomatic Method with Special Reference to Geometry and Physics Proceedings of International Symposium at Berkeley 1957 8 Reprint Brouwer Press 2007 s 16 ISBN 1 4067 5355 6 11 Temmuz 2020 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 4 Kasim 2020 We regard as elementary that part of Euclidean geometry which can be formulated and established without the help of any set theoretical devices Tarski s logic Logic from Russell to Church Elsevier 2009 s 574 ISBN 0 444 51620 4 28 Subat 2021 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 4 Kasim 2020 Franzen Torkel 2005 Godel s Theorem An Incomplete Guide to its Use and Abuse AK Peters 1 56881 238 8 Pp 25 26 KaynakcaBall W W Rouse 1960 A Short Account of the History of Mathematics 4th ed Reprint Original publication London Macmillan amp Co 1908 bas New York Dover Publications ss 50 62 ISBN 0 486 20630 0 1961 Introduction to Geometry New York Wiley Eves Howard 1963 A Survey of Geometry Volume One Allyn and Bacon Heath Thomas L 1956 The Thirteen Books of Euclid s Elements 2nd ed Facsimile Original publication Cambridge University Press 1925 bas New York Dover Publications In 3 vols vol 1 0 486 60088 2 vol 2 0 486 60089 0 vol 3 0 486 60090 4 Heath s authoritative translation of Euclid s Elements plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text Misner Charles W Thorne Kip S Wheeler John Archibald 1973 W H Freeman Mlodinow 2001 Euclid s Window The Free Press Nagel E Newman J R 1958 Godel s Proof New York University Press Tarski Alfred 1951 A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry Univ of California Press Dis baglantilarWikimedia Commons ta Euclidean geometry ile ilgili ortam dosyalari bulunmaktadir Hazewinkel Michiel Ed 2001 Euclidean geometry Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1556080104 Hazewinkel Michiel Ed 2001 Plane trigonometry Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers ISBN 978 1556080104 Kiran Kedlaya 26 Ekim 2011 tarihinde kaynagindan arsivlendi analitik geometri kullanan bir islem PDF GFDL lisansli